조건부확률과 베이즈 정리

조건부 확률이란?

표본 공간 S에서, 사건 A와 B가 있을 때, 사건 B가 일어났다는 가정하에 사건 A가 일어날 확률을 말한다. 

이는 수식으로 쓰면 다음과 같이 쓸 수 있다. 

일반적으로 A가 일어나는 확률을 수식으로 나타내면 다음과 같다. 

이 수식에서는 A가 일어날 확률을 전체 표본공간이 S인 상태에서 계산한다. 

하지만 조건부 확률에서는 표본공간을 B로 한정하여 계산하는 것이라고 이해하면 된다. 

위 그림에서 P(A)는 전체 네모(S라는 표본공간)에서의 A(빨간색 + 분홍색)의 비율 정도로 말할 수 있다. 

조건부 확률 P(A|B)는 표본공간이 B가 됐을 때의 A의 확률이라고 말할 수 있고, 그림에서 B(초록색 + 분홍색)에서의 A(분홍색)의 비율이다.

 

베이즈 정리는 위의 조건부 확률을 조금 응용한 것으로, 아래의 식을 활용한다. 

베이즈 정리는 다음과 같다. 

베이즈 문제를 활용한 유면한 문제 중 하나는 질병 진단 문제이다. 

문제)

A질병은 10000명 중 한 명 꼴로 발생한다. 

어떤 사람이 A질병에 걸렸다고 판단하는 검사는 다음과 같은 확률을 갖는다. 

    1) 어떤 사람이 A질병에 걸리지 않았을 때 A질병에 걸렸다는 검사 결과가 나올 확률은 2퍼센트이다. 

    2) 어떤 사람이 A질병에 걸렸을 때 A질병에 걸리지 않았다는 검사 결과가 나올 확률은 1퍼센트이다. 

 

어떤 사람이 A질병에 걸렸다는 검사 결과를 받았을 때, 그 사람이 진짜로 질병에 걸렸을 확률은 얼마인가?

 

 

풀이)